德布朗熱定理（de Branges's theorem）
/ duh BRAHNZH /
有些定理因其陳述而著名；這一個也因結束了 69 年的等待而著名。德布朗熱定理是 1985 年對比貝爾巴赫猜想的解決：人們長久懷疑的、正規化單葉函數係數上的天花板 |a_n| <= n，終究是對的。它合上了複分析最受矚目的未解問題之一，且是循著少有人預料的路徑做到的。
其陳述正是那個舊猜想：對 S 類中每個 f，f(z) = z + a_2 z^2 + ...，對所有 n 有 |a_n| <= n，且等號僅對科貝函數的旋轉成立。Louis de Branges 並非正面強攻係數，而是證明一個邏輯上更強的陳述——關於 f 對數係數的米林猜想，它藉勒別捷夫與米林的不等式蘊含比貝爾巴赫界。引擎是洛伊納微分方程：他把 f 嵌入一個洛伊納鏈，導出沿著它演化的一族函數，並證明一個巧選的組合是單調的，而那個單調性化約為某些特殊函數和式的正性（一個 Askey 與 Gasper 先前對雅可比多項式建立的正性）。
它在兩個意義上都是里程碑：猜想本身是整個領域用來衡量自己的試金石，而證明以令所有人意外的方式融合了幾何函數論與特殊函數不等式。一個關於歷史的誠實註腳：德布朗熱最初的手稿很長，起初遭遇懷疑；證明在列寧格勒的一個研討班上被核驗、簡化並確認，精簡後的版本如今是標準。這個結果是穩固的。它也展示一個反覆出現的教訓：證明一個更強、結構更好的陳述，可能比原來的更容易。
1985 年前，人們只能對小的 n（n <= 6）斷言 |a_n| <= n，以及如 |a_n| <= e n（李特爾伍德）這類較弱的一致界。德布朗熱定理把這升級為對所有 n 同時成立的完整尖銳 |a_n| <= n，例如它保證對任意正規化單葉 f 有 |a_100| <= 100，而科貝函數是唯一的極值。
德布朗熱（1985）藉米林猜想與洛伊納鏈把比貝爾巴赫猜想化為定理。
證明取道對數係數（米林），而非直接處理 a_n，並倚賴雅可比多項式的一個正性結果——一個特殊函數分析解決幾何問題的驚人案例。