科貝函數（Koebe function）
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每個好理論都有一個英雄式的例子，老在每個不等式的邊界上現身。在單葉函數論裡，這位英雄就是科貝函數。它是把邊界拉伸得如一對一映射所能達到的最猛烈的那個圓盤映射，作為回報，它恰好坐在這門學科幾乎每個尖銳界的邊界上。若你想知道 S 類的某個估計能否改進，你就拿它與科貝對照。
它是顯式函數 k(z) = z/(1 - z)^2，定義在單位圓盤上。一個簡短的計算給出它的泰勒級數 k(z) = z + 2 z^2 + 3 z^3 + ...，所以它的第 n 個係數恰為 n——比貝爾巴赫猜想所允許的最大值。幾何上，k 把開單位圓盤一對一地映到去掉單一條直射線的整個平面：那條從 -1/4 沿負實軸向外延伸到負無窮的狹縫（「狹縫平面」）。圓盤的邊界圓被纏繞到那條狹縫上、對折起來，點 z = -1 被送到無窮遠。旋轉 e^(-i theta) k(e^(i theta) z) 把狹縫指向其他方向，構成全部極值的族。
科貝函數是普遍的極值：它在 |a_2| <= 2 中達到等號（a_2 = 2）、在科貝四分之一定理中（被遺漏的狹縫恰好從距 0 為 1/4 處開始）、在增長與畸變定理中、以及在比貝爾巴赫猜想 |a_n| <= n 的每個情形中都達到等號。值得陳述的一個警告：k(z) = z/(1 - z)^2 只在圓盤上單葉——它在任何更大的圓盤上都不一對一，因為 z = 1 處的極點與對折破壞了它。它的魔力在於把圓盤推到絕對的幾何極限，同時仍保持單葉。
寫 k(z) = z/(1 - z)^2，並注意 1/(1 - z)^2 = sum_{n>=1} n z^(n-1) 是 1/(1 - z) 的導數。乘以 z 得 k(z) = sum_{n>=1} n z^n = z + 2 z^2 + 3 z^3 + ...。像是去掉射線 (-無窮, -1/4] 的平面；離原點最近的被遺漏點是 -1/4。
科貝函數把圓盤映到去掉一條徑向狹縫的平面上，係數 a_n = n。
被遺漏的狹縫深入到 -1/4，而非 -1/4 到 -1；那單一的距離 1/4 恰是科貝四分之一定理中的覆蓋半徑。此函數以 Paul Koebe 命名，並非某地名。