洛伊納微分方程（Loewner differential equation）
/ LURV-ner /
假設你想理解單一個複雜的單葉映射。一個有力的訣竅不是研究它的凍結態，而是讓它「生長」：建造一部連續的單葉映射電影，從平凡的恆等映射開始，緩慢地形變直到抵達你的目標，並追蹤映射如何逐格改變。支配那逐格改變的法則是一個微分方程。洛伊納於 1923 年發現了正確的這種方程，它成了最困難的係數問題的大師級工具。
其設定是一個洛伊納鏈：圓盤上一族單葉函數 f_t，以時間 t >= 0 為指標，f_0(z) = z，且像隨 t 增長穩定擴張（每個較早的像都坐在每個較晚的之內）。對狹縫版本——每一瞬間都有一個尖端從邊界被推入——這些映射遵守徑向洛伊納微分方程。在半平面的弦形式下，對反映射它讀作 dg_t(z)/dt = 2 / (g_t(z) - U_t)，其中 U_t 是一個沿邊界運行的實「驅動函數」，它編碼在時間 t 哪個邊界點正被吸收。把這個常微分方程向前求解，便由單一個驅動函數重建出整個生長的族；映射的幾何被重新包裝成一個邊界點的動力學。
這正是那些深刻係數定理背後的機械：洛伊納本人用它證明 |a_3| <= 3，而德布朗熱把他對完整比貝爾巴赫猜想的證明建立在洛伊納鏈上。在二十一世紀，同一個方程餵入布朗運動的驅動函數，成了施拉姆-洛伊納演化（SLE），是機率與統計物理的基石。一個警告：驅動函數的對應很微妙——連續的 U_t 產生一個生長的殼，但並非每個 U_t 都產出一條光滑曲線的狹縫，而由 U_t 讀出幾何（或反之）確實精細，不是一本簡單的字典。
若驅動函數為常數 U_t = 0，弦形洛伊納方程 dg_t/dt = 2/g_t 積分得 g_t(z) = sqrt(z^2 + 4t)：生長的殼就是一條從實軸往上推的直立狹縫。常數驅動點給出直狹縫；移動的 U_t 把狹縫彎成曲線。
常數驅動函數產生一條直狹縫；驅動函數編碼了生長的尖端。
有兩種標準正規化——徑向（圓盤，尖端來自邊界）與弦向（半平面）——以及若干符號慣例；比較公式前先確認作者用哪個形式。並非每個驅動函數都給出曲線。