外積（cross product）

內積把兩個向量變成一個數。外積則把空間中的兩個向量變成一個全新的「向量」——一個直直地指出兩向量所在平面之外的向量。它是「同時垂直於兩者」以及量度兩者掃出面積的天然工具。力矩、角動量、平面的法向量都住在這裡。

給定三維中的 u 與 v，它們的外積 u x v 是具有兩個界定性質的向量。第一，它的方向同時垂直於 u 與 v，由右手定則決定哪一側：右手手指沿 u 伸直、再彎向 v，拇指便指向 u x v。第二，它的大小為 |u x v| = |u| |v| sin theta，恰等於 u 與 v 張成的平行四邊形面積。以分量計算有一個整齊的公式：對 u = (u_1, u_2, u_3) 與 v = (v_1, v_2, v_3)，u x v = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1)。大小恰在 sin theta = 0 時為零，也就是 u 與 v 平行（或其一為零）時——平行的箭張不出面積。

因為 u x v 自動垂直於兩個輸入，它是製造過三點的平面之法向量、或求垂直於兩條給定直線之方向的標準辦法。半個大小 (1/2)|u x v| 就是以 u、v 為兩邊的三角形面積。一個尖銳的警告：外積「不」可交換——交換輸入會使結果反向，u x v = -(v x u)，因為右手定則翻面。它也不可結合。而且它是三維特有的（七維是個古怪特例）；平面中或更高維中沒有一般意義的兩向量外積。對次序與維度要心存敬意。