兩個函數的卷積（convolution of two functions）
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卷積是把兩個函數融合成第三個的方式——一種「塗抹的重疊」，它在每一刻問：一個函數的過去有多少仍在此刻迴響，並以另一個函數來加權。聽起來抽象，但這正是當下的輸出如何累積過去每一筆輸入的效應：今天的讀數，是先前一切的混合，並依事情發生多久以前而淡去。
f 與 g 的卷積，寫成 f * g，定義為 (f * g)(t) = f(tau) g(t - tau) 對 tau 從 0 到 t 的積分。把它想成一個滑動、翻轉、求和的操作：固定住 f(tau)，把 g 翻轉並平移使其「原點」落在當前時刻 t，逐點相乘，再把重疊加總。變數 tau 跑遍所有過去的瞬間；g(t - tau) 以系統對它的記憶來加權 tau 之前的輸入。卷積滿足交換律（f * g = g * f），所以你可以翻轉較方便的那個函數。
卷積之所以值得，是因為卷積定理：在 s 域裡，一個惱人的卷積積分變成單純的乘積，L{f * g} = F(s) G(s)。那一個事實讓你能把兩個變換的乘積（你常無法用部分分式拆開的那種）寫成時域裡的卷積來反變換。它也是「線性系統的輸出等於輸入與脈衝響應的卷積」這句話的語言——因果在系統中迴響的數學形狀。
1 與 e^(-t) 的卷積是 1 · e^(-(t - tau)) 對 tau 從 0 到 t 的積分 = 1 - e^(-t)；等價地，L{1 * e^(-t)} = (1/s)·(1/(s+1)) = 1/(s(s+1))，其反變換同樣是 1 - e^(-t)。
兩種途徑同一答案：時域裡的卷積等於 s 域裡變換的乘積。
卷積不是逐點相乘：(f * g)(t) 一般不等於 f(t) g(t)。乘積發生在對平移後自變數的積分內部，而非單一時刻 t——那個積分正是重點所在。