總熱量守恆（conservation of total heat）

把固定量的染料倒進一個密封的水箱。染料散開、淡成均勻的微弱色調，但水箱裡染料的總量從不改變——沒有憑空生成、沒有消滅，只是被重新分配了。總熱量守恆對熱方程而言是同樣的帳目事實：只要沒有東西穿越邊界，熱（或物質）的總量在擴散時就被保存。

拿熱方程 u_t = k u_xx，對整個區間或直線兩邊積分。總熱量是 Q(t) = integral of u(x,t) dx。在積分號下微分，dQ/dt = integral of u_t dx = integral of k u_xx dx = k [u_x] 在端點處取值。所以由微積分基本定理，總熱量的變化率等於穿過邊界的淨通量。若邊界不讓熱逃逸——隔熱（諾伊曼）端 u_x = 0，或 u 和 u_x 在無窮遠處消失的整條直線——則 dQ/dt = 0，Q 對所有時間都是常數。總量守恆。這正是為什麼熱核對每個 t 面積都是 1：它代表一單位熱量，被重新分配但從未丟失。

這裡的守恆不是另一條公設；它內建於方程中，而方程本來就是從一條守恆律推導出來的（累積速率＝負的通量散度）。它給你一個免費的解驗證，以及快速的定性掌握：在隔熱牆下，棒會漂向等於其初始平均溫度的均勻溫度，因為那是唯一一個帶有相同總熱量的常數分布。提醒：守恆需要邊界無通量且無源項。在固定為冷的狄利克雷端，熱會漏出去，總量衰減到零；有源項時（非齊次方程）熱被加入，你用杜阿梅原理追蹤這個平衡。