由 SVD 得到條件數

當你在計算機上解 Ax = b 時，數據 b 帶著小誤差，A 也是如此。條件數衡量這些小的輸入誤差在答案 x 中可能被放大得有多糟。它是相對誤差的放大因子：良態矩陣溫和地傳遞誤差，病態矩陣則災難性地將其放大。

SVD 給出最乾淨的定義：kappa(A) = sigma_max / sigma_min，即最大奇異值與最小非零奇異值之比。映射沿某些方向拉伸 sigma_max 倍，又把另一些方向壓縮到 sigma_min；求逆則反其道而行，於是微小的 sigma_min 變成巨大的 1/sigma_min，瘋狂放大落在那個被壓縮方向上的任何誤差分量。

看兩個極端。kappa = 1 是完美的：正交矩陣所有奇異值相等、條件數為 1，故絕不放大誤差。當 sigma_min 趨於零時，kappa 飆向無窮，矩陣趨於奇異——解變得無可救藥地敏感。一條粗略法則：若 kappa 約為 10^k，解這個系統時你大約會損失 k 位精度。

奇異值也澄清了有限精度下秩的含義。精確的秩計的是非零奇異值，但數值上一個 10^{-15} 的奇異值與噪聲無從分辨。數值秩計的是高於某個合理閾值的奇異值，而條件數告訴你畫這條線時有多大把握——諸 sigma 間的巨大間隙意味著乾淨的切割，平滑的衰減則意味著秩確實含糊不清。