剛度矩陣（stiffness matrix）
想像一張由彈簧連接一格格樁的網。推一根樁，它就會拉扯與它相連的樁；一個連接愈抗拒被拉伸，它就愈「剛」。如果你對每一對樁都寫下「移動其一對另一者的運動有多大的抗拒」，你就得到一張數字表——剛度矩陣。這名稱是字面上的：在有限元素法誕生的結構力學中，這些元素真的就是把力與位移聯繫起來的剛度。
在數學上，當伽遼金法把弱形式化為線性方程組 K c = F 時，剛度矩陣 K 裝著元素 K_ij = a(phi_j, phi_i)，即雙線性形式在成對形狀函數上的取值——對模型問題而言，K_ij = integral of (grad phi_i . grad phi_j) 在區域上的積分。因為每個形狀函數只在碰到其節點的少數元素上非零，所以當節點 i 與 j 不共用任何元素時 K_ij = 0：K 是「稀疏」的，每列只有寥寥幾個非零元。當底層問題對稱時（a(u,v) = a(v,u)）K 也對稱，而對良態的橢圓問題（如穩態熱傳或彈性）K 是「正定」的——這正是讓喬列斯基分解與共軛梯度法如此有效的結構。
兩點誠實的告誡。其一，K 是透過「組裝」建立的：你在每個元素上算出一個小小的元素剛度矩陣，再把它的貢獻加進全域 K 中正確的節點索引處——你絕不會用一個巨大的積分一次造出 K。其二，細化網格會讓 K 變大「並」更病態：對二階 PDE，其條件數隨元素縮小如 O(1/h^2) 般增長，所以直接求解變得昂貴，而迭代求解器需要一個預條件子（常是多重網格）才能保持高效。剛度矩陣正是連續 PDE 終於變成電腦實際求解的那個稀疏線性代數問題之處。
對 -u'' = f，用間距 h 之均勻網格上的線性元素，元素剛度矩陣的兩列為 (1/h)(1, -1) 與 (1/h)(-1, 1)，把它們在所有元素上組裝起來得到全域三對角矩陣 K = (1/h) * tridiag(-1, 2, -1)。每個內部列都編碼了熟悉的 (-u_{i-1} + 2u_i - u_{i+1})/h 模式。
稀疏、對稱、正定——這正是讓橢圓有限元素法可在大規模下求解的結構。
對良好的橢圓問題，剛度矩陣稀疏且對稱正定，但隨網格細化會變得病態（條件數約 O(1/h^2)）。因此細網格需要配備良好預條件子的迭代求解器，而非天真的直接求逆。