伽遼金法（Galerkin method）
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一條 PDE 的真解活在一個無窮維的函數空間裡——自由度多到無法計算。伽遼金法把問題化為有限：它說，別搜尋整個無窮空間，只搜尋一個小小的有限維子空間（由選定的少數形狀函數組合而成），並在該子空間中挑出「在子空間允許範圍內最接近」真解的那個成員。這和用一個平面上最近的點去逼近一個彎曲曲面是同一個想法——正交投影。
其運作機制如下。你要找 u 使得 a(u, v) = L(v) 對所有測試函數 v 成立，其中 a 是弱形式來的雙線性形式（在我們的模型中 a(u,v) = integral u' v'），L 是荷載。你把近似寫成 u_h = sum c_j phi_j，在基函數 phi_j 上展開，並要求方程不對所有 v 成立，而是對每個基函數 v = phi_i 成立。代入後得到 sum_j a(phi_j, phi_i) c_j = L(phi_i)：一個線性方程組 K c = F，其中 K_ij = a(phi_j, phi_i) 是剛度矩陣，F_i = L(phi_i) 是荷載向量。解出係數 c 就得到子空間所能提供的最佳近似。其定義性特徵是伽遼金正交性：誤差 u - u_h（在能量內積下）與整個子空間正交，這正是「最近點」性質。
伽遼金法是有限元素法內部的引擎，也比這單一應用更通用——譜方法、邊界元素法以及許多降階模型都是投影到巧妙選定子空間上的伽遼金投影。它的威力與它的誠實是同一件事：伽遼金給出子空間所能表達的「最佳」近似，但不會更好——若你的形狀函數無法表現一個尖銳的邊界層或激波，方法就變不出來，而且對對流主導的問題，單純的伽遼金可能產生虛假振盪，這也正是為何有穩定化或不連續伽遼金的變體存在。
用 N 個內部帽函數逼近 (0,1) 上 -u'' = 1、u(0)=u(1)=0 的解。伽遼金給出三對角方程組 (1/h) * tridiag(-1, 2, -1) c = h * (1,...,1)^T。解出後，分段線性的 u_h 在每個節點上都恰好落在真拋物線 u = x(1-x)/2 上——對這個一維問題，伽遼金恰好在節點上精確。
伽遼金以「有限子空間內的最佳擬合」取代無窮的搜尋。
伽遼金正交性意味著 u_h 是子空間所能做到的最佳——但僅在能量範數下。它一般不是最大值範數下的最佳，而對對流主導的問題，標準伽遼金若不加穩定化可能嚴重振盪。