QR 演算法
QR 演算法是計算稠密矩陣「全部」特徵值的主力，也是數值數學中最美的驚喜之一。它的赤裸想法簡單到幾乎令人不敢相信：把矩陣分解成 A = Q R（正交矩陣 Q 乘上三角矩陣 R，用 QR 分解），再把兩個因子以對調的順序乘回去，形成 A_1 = R Q。重複。令人驚訝的是，這串矩陣會邁向上三角形式，而特徵值就出現在對角線上。
為什麼對調因子會有用？注意 A_1 = R Q = Q^T (Q R) Q = Q^T A Q，這是一個相似變換——所以 A_1 與 A 有完全相同的特徵值，只是在一個旋轉後的基底下表達。每次疊代就是一次這樣的正交基底變換，而神奇之處在於：這些特定的旋轉會逐步揭露特徵值——次對角元素縮向零，矩陣變成（分塊）三角，其對角元素即為特徵值。深層原因是：QR 演算法其實是在同時對每個特徵向量偷偷跑冪法（與反冪法），以正交化的形式進行——最大的特徵值安定到左上角，最小的安定到右下角。
三個工程上的點睛讓它實用，合起來就是 LAPACK 中真正使用的演算法。第一，先一次性把 A 化為海森堡形式（對稱則三對角），使每步 QR 只要 O(n^2) 而非 O(n^3)。第二，使用「移位」（shift）：對 A - sigma I 而非 A 運作，把 sigma 選在某特徵值附近（瑞利商移位或維爾金森移位），讓相關次對角元素以二次甚至三次的速度崩塌。第三，「縮減」（deflate）：一旦某個次對角元素小到可忽略，就把那個特徵值分離出來，縮小作用中的矩陣。有了移位與縮減，求出每一個特徵值的總成本約為 O(n^3)，而且因為每一步都是正交相似變換，整個過程向後穩定。
取列為 (2, 1) 與 (1, 2) 的 A。做 QR 分解：A = Q R。形成 A_1 = R Q；它的非對角元素已變小，對角元素也向 3 與 1 移動。幾次疊代後（加上移位收斂快得多），矩陣在捨入誤差內基本上就是 diag(3, 1)——特徵值直接從對角線讀出，累乘的 Q 各欄就是特徵向量。
反覆分解 A = Q R 再重組 R Q，是一個相似變換步驟，把矩陣推向三角形式。
「素樸」（無移位）的 QR 演算法只線性收斂，且在大小相等的特徵值上可能停滯；實際使用的版本一律帶移位與縮減，對實矩陣還用隱式雙重移位（Francis）步驟，以不動用複數算術就處理共軛複數對。這裡的 Q 是每步的正交因子，不是固定矩陣。