用QR分解解最小平方（least squares via QR factorization）
QR 途徑是解最小平方的標準、可靠做法——好的程式庫預設就用它。想法是把高瘦的矩陣 A 改寫成乘積 Q R，其中 Q 的各行正交歸一（互相垂直的單位向量，故 Q^T Q = I），R 是上三角。由於 Q 的各行正交歸一，乘以 Q^T 會精確保持長度——它只是旋轉與反射空間而不拉伸它——因此不可能放大誤差。整個訣竅就在這：用保長運算來做粗重活。
用平白的步驟看方法。分解 A = Q R（薄型 QR：Q 是 m×n，R 是 n×n 上三角）。要最小化 ||A x - b||_2 = ||Q R x - b||_2；在範數內乘以 Q^T（這不改變長度）：問題在相關分量上變成 ||R x - Q^T b||_2。所以你先算向量 c = Q^T b，再用回代解小型三角系統 R x = c——又快又穩。關鍵是你「絕不」建立 A^T A，因此絕不把條件數平方。你得到的準確度追隨 kappa(A)，而非 kappa(A)^2。
QR 分解可由豪斯霍爾德轉換建立（最常見，對稠密問題向後穩定）、吉文斯旋轉（適合稀疏或串流式更新），或格拉姆-施密特（直觀，但需要「修正版」才可靠）。QR 的浮點運算量約為法方程的兩倍（~2 m n^2 對比 ~m n^2 + n^3/3），但這額外成本買到了數值安全。對滿秩問題，QR 是建議的預設；對秩虧或近奇異的問題，則升級到 SVD。
要擬合我們的直線，把 A（各列為 (1,1)、(1,2)、(1,3)）分解為 Q（3×2，正交歸一行）乘上 R（2×2 上三角）。接著 c = Q^T b 是一個 2 維向量，對 R x = c 回代得到 x = (2/3, 1)^T——與法方程相同的答案，卻完全沒把 kappa(A) 平方。
正交歸一的 Q 保持長度，所以 QR 在不平方條件數的情況下解出最小平方。
QR 是滿秩最小平方的建議預設；它的成本約為法方程的兩倍，但對病態資料準確得多。然而它無法優雅地處理秩虧——遇到秩虧請改用 SVD。