格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt orthogonalization）
/ GRAM-SHMIT /
格拉姆-施密特是教科書上把一組傾斜、可能冗餘的向量變成一組張成同一空間、互相垂直的單位向量的標準做法。你一次處理一個向量。第一個只需歸一化。對每個新向量，你減去它在所有已固定方向上的影子，只留下真正新的、垂直的部分，再把它歸一化。這就是徒手建立正交歸一基底的方法——也是逐行建立 QR 分解中 Q 的方法。
逐步來看，給定各行 a_1, a_2, ...：令 q_1 = a_1 / ||a_1||。對 a_2，去掉它沿 q_1 的分量：v_2 = a_2 - (q_1^T a_2) q_1，再令 q_2 = v_2 / ||v_2||。對 a_3，去掉它沿 q_1 與 q_2 的分量，依此類推。你剝下來的係數（那些 q_i^T a_j）正是上三角 R 的各項，所以格拉姆-施密特直接產生 A = Q R，並給出與其他 QR 方法相同的最小平方機制。它是三者中最直觀的。
誠實的陷阱在這：天真的「古典」格拉姆-施密特數值上很脆弱。當向量近乎平行時，那些相減會涉及災難性抵消，算出的 q 們會偏離正交。修正之道是「修正版格拉姆-施密特」（MGS），它逐一減去各投影並使用剛更新過的向量，而非一次全減——代數上完全相同，數值上好得多。即便如此，要最高準確度仍首選豪斯霍爾德 QR；格拉姆-施密特靠直觀、靠稀疏情境，以及在 Arnoldi 這類克雷洛夫法中（對逐漸增長的基底做正交化是其核心運算）來證明自己的價值。
把 a_1 = (1, 1, 0)^T 與 a_2 = (1, 0, 1)^T 正交歸一化。先 q_1 = (1, 1, 0)/sqrt(2)。再 v_2 = a_2 - (q_1^T a_2) q_1 = (1,0,1) - (1/2)(1,1,0) = (1/2, -1/2, 1)，然後 q_2 = v_2/||v_2||。現在 q_1 與 q_2 是張成同一平面的互相垂直的單位向量。
減去每個新向量在已固定方向上的影子，再把剩下的部分歸一化。
古典格拉姆-施密特在近乎平行的向量上因抵消而失去正交性；務必使用修正版（MGS），而當準確度至關重要時則首選豪斯霍爾德 QR。