冪法
假設你只想要矩陣 A 那個絕對值最大的特徵值（dominant eigenvalue）以及它的特徵向量。有一個漂亮又簡單的配方：任取一個起始向量，反覆用 A 去乘它，每次再正規化（renormalize）。這個向量會擺動、然後安定下來，越來越精確地指向主特徵向量的方向。這就是冪法（power method），它幾乎是每一個疊代特徵值求解器的種子（換個面貌看，也是 Google 最初 PageRank 的核心）。
為什麼有效？把起始向量寫成 A 的特徵向量的組合：v = c_1 q_1 + c_2 q_2 + ...，其中 q_1 對應最大的特徵值 lambda_1。每乘一次 A，就把第 i 個分量乘上它的特徵值 lambda_i，所以走 k 步後沿 q_1 方向的分量是 c_1 lambda_1^k q_1。因為 |lambda_1| 最大，那一項長得最快、壓過其他項；相對於它，其餘每個分量都以 (lambda_i / lambda_1)^k 的速度縮小。於是疊代 v_{k+1} = A v_k / ||A v_k|| 收斂到 q_1，而瑞利商（Rayleigh quotient）v_k^T A v_k / (v_k^T v_k) 收斂到 lambda_1。用虛擬碼寫：重複執行 w = A v；v = w / ||w||；lambda = v^T A v。
代價在於收斂速度：誤差只以線性方式縮小，每步約乘上比值 |lambda_2 / lambda_1|。若前兩大特徵值的大小相近，這個比值接近 1，收斂就慢如蝸牛；若它們大小相等（並列，或一對共軛複數），純冪法可能根本不收斂。它也只能找到主特徵對，找不到其他的。這些限制，正是反冪法（瞄準其他特徵值）與 QR 演算法（一網打盡）要克服的目標。但若只需要一個巨大稀疏矩陣的某個極端特徵值、而且你只負擔得起矩陣乘向量的運算，冪法就很難被打敗。
設 A 的列為 (2, 1) 與 (1, 2)，特徵值為 3（特徵向量 (1,1)）與 1（特徵向量 (1,-1)）。從 v = (1, 0) 開始。A v = (2, 1)，正規化為 (0.894, 0.447)。下一步 (2.236, 1.789) -> (0.781, 0.625)，再下一步 (0.733, 0.680)……向量逐步逼近 (0.707, 0.707)，即 (1,1) 的方向，瑞利商也爬向 3。每步誤差約乘上 |1/3|，所以每幾步就多對幾位數。
反覆相乘讓向量對齊主特徵向量；收斂速度由 |lambda_2/lambda_1| 決定。
每步都要正規化，否則隨著 lambda_1^k 暴增或衰減，疊代值會上溢或下溢。而且它收斂到的是主特徵向量的「方向」（一個單位向量，符號可能不定），不是某個大小——特徵值要從瑞利商取得，而非向量的長度。