標準形（canonical form）

同一個想法可以披上許多偽裝：1/2、2/4、3/6 是同一個數；x + x 與 2x 是同一個表達式；(x + 1)(x - 1) 與 x^2 - 1 是同一個多項式。若電腦要認出兩個東西相等，先把每一個改寫成一個大家同意的標準形狀，會幫上大忙。標準形正是如此：為每個值選定一個唯一的代表，使得兩個物件相等，當且僅當它們的標準形逐字元完全相同。

其定義性質是唯一性：標準形把一個等價類裡的每個成員都映到同一個代表。對分數而言，標準形是分母為正的最簡分數，所以 2/4、3/6、1/2 全都變成 1/2。對多項式而言，標準形可能是「展開、各項依次數遞減排序」，所以 (x + 1)^2 與 x^2 + 2x + 1 都變成字串 x^2 + 2x + 1。關鍵在於，標準形使相等性檢驗變得無足輕重——直接比較表示法即可。它較弱的表親「正規形」只保證任何等於零的東西被改寫成字面上的 0（足以檢驗是否為零，但不足以給每個值一個唯一的外觀）；這兩個詞常被寬鬆地混用，但在理論上區別很重要。

標準形是讓電腦代數系統可靠地化簡、偵測重複、判定相等的安靜機制。它們不只限於代數：史密斯正規形與埃爾米特正規形是整數矩陣的標準形狀，用於精確線性代數。誠實的限制令人清醒：對於足夠豐富的表達式類別（混雜指數、對數、根式），根本不存在可計算的標準形，因為相等性的判定一般而言是不可判定的。那個不可能性就是零等價問題，也正是自動化簡永遠無法完美的原因。