零等價問題（zero-equivalence problem）

這聽起來像世上最簡單的問題：這個表達式等於零嗎？對 3 - 3 而言，當然是。但對 exp(log(x)) - x，或一團層層嵌套的對數、指數與平方根，要判定整個東西是否偷偷為零，竟是電腦代數中最難的問題之一——而就其完全的一般性而言，可證明電腦不可能總是正確回答。

問題是這樣：給定一個符號表達式，判定它是否代表零函數（等價地，藉由問 A - B 是否為零，來判定兩個表達式 A 與 B 是否相等）。對多項式與有理函數而言這很容易——展開成標準形，看是否全部抵消。但一旦你允許「初等」函數（exp、log、sin、根式，可自由複合），理查森定理表明這個問題變得不可判定：不存在一個演算法能對每個這樣的表達式停機並給出正確的是或否。這正是一般表達式不可能有完美標準形的原因，也是自動化簡會被「相等卻拒絕看起來相等」的表達式擊敗的原因。

在實務上，系統繞過這個不可能性而非解決它。主流的技巧是機率性的：代入隨機的數值；若表達式算出來明顯非零，它就肯定不是零，而若它在許多隨機點都算出零，它幾乎肯定是零函數（這是支撐大半電腦代數的施瓦茨-齊普爾想法）。這給出一個快速、以壓倒性機率正確的答案，但永遠不是「為零」的絕對證明。誠實的結論是：電腦代數系統中的相等性檢驗，是躲在一個無辜等號背後的深刻、有時不可判定的問題，而「無法判定」或一個機率性的裁決，有時是可得的最誠實答案。