精確有理數算術（exact rational arithmetic）

在計算機上把 1/3 加 1/6，你得到 0.5，一個恰好算得乾淨的數——但把 1/3 加 1/7，你得到 0.47619047...，一個已經有點錯的小數。精確有理數算術拒絕捨入：它把每個數都保存為分數，一個分子配一個分母，並把 1/3 + 1/7 算成恰好的 10/21。答案是一對整數，完美地等於真值，看不到任何小數。

一個有理數以兩個任意精度整數 p/q 保存，化為最簡且 q 為正。其算術就是你學過的分數規則，精確地執行：a/b + c/d = (a d + b c) / (b d)，且 a/b 乘 c/d = (a c) / (b d)，之後再把結果的分子分母同除以它們的最大公因數（用歐幾里得演算法算出）以約分。因為整數可以任意大，從不丟失任何資訊：一連串分數的加、乘、除，到最後產生唯一精確正確的分數。這是精確線性代數核心的數系，其中無分數版或有理數版的高斯消去法以完全精確的答案解 A x = b。

精確有理數在正確性必須密不透風時至關重要——驗證恆等式、精確解線性方程組，或任何災難性抵消會毀掉浮點數的場合。誠實的代價有兩面，而且是電腦代數的核心：分子與分母會隨著計算成長，有時呈爆炸性（表達式膨脹的教科書案例），而不斷的最大公因數約分也並非免費。所以精確有理數算術精準卻不可擴展；對大型系統而言，數值方法儘管帶著捨入誤差，通常仍是唯一務實的選擇。