近凸函數（close-to-convex function）

凸與星形的像非常整齊，但許多完全不錯的單葉像兩者皆非——它們可能有凹陷，卻仍從不折疊到自己之上。有沒有一個更寬鬆、卻仍藉一個簡單判別保證一對一的幾何類？有：近凸函數。粗略地說，像可以向內凹，但絕不允許做一個髮夾彎使其邊界對折回自身；邊界的補集仍可由不相交的射線觸及。

精確地說，S 類中的 f 是近凸的，若存在某個凸單葉函數 g，使得對圓盤中所有 z 有 Re( f'(z) / g'(z) ) > 0。卡普蘭給出的幾何意義是：當你沿 f(圓盤) 的邊界行走時，它從不轉回 pi 或更大的角——切線方向從不反轉半圈。等價地，像的補集是一些不相交射線的並。這比星形弱（取 g(z) = z 可回收一個接近星形的充分條件），但關鍵是：近凸性仍蘊含單葉——它是一個全純映射為一對一的可用充分條件。

近凸函數補全了標準層級「凸蘊含星形、蘊含近凸、蘊含單葉」，擴大了你能藉一個容易的實部判別、而非直接檢查單射性來認證為單葉的映射之網。比貝爾巴赫界 |a_n| <= n 對它們也成立，以科貝為極值。一個誠實的警告：這個蘊含是單向的——近凸性對單葉是充分而非必要，所以一個單葉映射可能通不過近凸判別。它是一個方便的充分準則，而非所有單葉函數的刻畫。