凸單葉函數（convex univalent function）
一個區域是凸的，若每當你取其內部兩點，連接它們的直線段都完全留在內部——沒有凹陷、沒有缺口、沒有被咬掉的部分。圓盤、半平面與橢圓內部是凸的；新月或星形則不是。凸單葉函數是一個一對一的圓盤全純映射，其像是凸區域。它們是幾何子類中最剛硬、行為最佳的。
精確地說，S 類中的 f 是凸的，若 f(圓盤) 是凸集。解析判別同樣乾淨：f 是凸的若且唯若對圓盤中所有 z 有 Re( 1 + z f''(z) / f'(z) ) > 0。量 1 + z f''/f' 量度沿像圓的切線方向如何轉動；要求其實部保持正，便是說邊界曲線始終朝同一方向轉（從不反轉其彎曲），這恰是凸性。它與星形性有一個可愛的聯繫，亞歷山大定理：f 是凸的若且唯若 z f'(z) 是星形的，所以兩個判別互為導數。
凸映射位於層級的頂端：凸蘊含星形、蘊含近凸、蘊含單葉。因為它們如此受限，其尖銳係數界比一般情形小得多——對凸的 f，對所有 n 有 |a_n| <= 1（極值：半平面映射 z/(1 - z) = z + z^2 + z^3 + ...，其係數全為 1），遠低於完整 S 類的 |a_n| <= n。一個警告：此處「凸」是「像區域」的凸性，是映射的一個幾何性質；它與一個函數在實微積分意義下（圖形向上彎）為凸無關。
映射 f(z) = z/(1 - z) 把單位圓盤映到半平面 Re w > -1/2，那是凸的。其級數 z + z^2 + z^3 + ... 的每個 a_n = 1，即凸函數的極值。注意其導數相關量 z f'(z) = z/(1 - z)^2 恰是科貝函數，而科貝是星形的——這闡明了亞歷山大定理。
半平面映射是凸的，|a_n| = 1；其 z f'(z) 是星形的科貝函數（亞歷山大）。
「凸」指像區域為凸，而非實微積分中的凸圖形。凸嚴格強於星形：凸的 |a_n| <= 1，相對於一般的 |a_n| <= n。