切格-格羅莫爾靈魂定理
/ CHAY-gur GROH-mol /
一個非負曲率的完備開曲面——像無窮拋物面或平坦圓柱——似乎永遠向外延伸，但它總有一個它環繞著的緊「核心」，其餘一切只是核心沿直方向加厚而成。切格-格羅莫爾靈魂定理在每個維數中把這幅圖像弄精確。它說：任何完備、非緊、非負曲率的流形都形變收縮到一個緊、全測地的子流形——它的靈魂——而整個流形不過是該靈魂的法叢。
確切地說：設 M 是完備、非緊、截面曲率 K >= 0 的黎曼流形。則存在一個緊、全測地、全凸的子流形 S（靈魂），使得 M 微分同胚於 S 在 M 中法叢的全空間。特別地 M 形變收縮到 S，故 M 與 S 具有相同的同倫型，非緊性全由纖維方向承載。其構造優美：從任一點出發，以由距離函數（射線的布澤曼函數）建構的嵌套全凸集族窮盡 M，再把它們收縮；剩下而無法再收縮者便是靈魂。全凸集是包含其任兩點間每條測地線的集合；S 全測地意味著 S 本身是測地子流形（S 的測地線即 M 的測地線）。
靈魂定理是非緊非負曲率的結構骨幹，把開流形的拓樸化約為一個緊片段的拓樸。它著名的相伴結果是切格-格羅莫爾-佩雷爾曼靈魂猜想（佩雷爾曼於 1994 年證明）：若曲率哪怕在單一一點嚴格為正，靈魂便是一點，故 M 微分同胚於 R^n。誠實的注意。其一，需要非負「截面」曲率——里奇界確實更弱、給不出靈魂。其二，「全測地」與「全凸」強於「極小」或「凸」；靈魂並非僅僅是極小子流形。其三，靈魂作為集合未必唯一，儘管所有靈魂都等距，而被釘定的是 M 的微分同胚型。
平坦無窮圓柱 S^1 x R 具有 K = 0 >= 0、完備且非緊；它的靈魂是中央圓 S^1 x {0}，一個緊的全測地子流形，而圓柱恰是該圓上的（平凡）法線叢——它形變收縮到該圓。平坦平面 R^2 具有 K = 0，其靈魂為一點（任一點），而 R^2 是一點的法叢，即 R^2 本身。旋轉拋物面處處嚴格 K > 0，故由佩雷爾曼的解決其靈魂為一點、它微分同胚於 R^2——它顯然如此。
圓柱：靈魂＝中央圓；平面與拋物面：靈魂＝一點。M 是其靈魂的法叢。
靈魂定理需要非負「截面」曲率與非緊性；它對緊流形毫無所言。且靈魂是全測地且全凸的，遠強於極小——勿把這些弱化為單純的凸。