圖卡與圖冊（chart and atlas）
當你翻開一本國家的道路地圖冊，沒有任何一頁能毫無扭曲地呈現整片土地；每一頁只把一個區域攤平到紙上，相鄰頁互相重疊，讓你能把一條路從這頁追到下一頁。流形的一張圖卡正是這樣的一頁：把彎曲空間的一小塊忠實攤平到尋常座標空間上。圖冊就是整本書——一組能合起來蓋住每個點、且重疊得合理的圖卡。
精確地說，流形 M 上的一張圖卡是一對東西：M 的一塊開區域 U，連同一個映射 phi，它以一對一、連續、且連續可逆的方式，把 U 中每個點送到 R^n 裡的一組數 (x^1, ..., x^n)。這些數就是該點的局部座標。圖冊是一族圖卡，其區域蓋住整個 M。當兩張圖卡重疊時，從一張圖卡的座標換到另一張的座標，靠的是轉移映射（transition map）；流形被稱為光滑，恰恰當每個轉移映射都無窮可微時。轉移映射裝著所有黏合的資訊——它們告訴你各個局部圖像如何拼成一個一致的空間。
圖卡是計算不可或缺的工具：要對流形上的函數求導，你把它透過圖卡拉回到實打實的 R^n，再用尋常微積分。但圖卡是一種選擇，不是空間本身的特徵——就像在經緯度與城市方格之間做選擇。任何真正屬於幾何的量，無論你用哪張圖卡計算，都必須得到相同結果；這種「與座標無關」正是整門學問的核心紀律。座標奇點——例如經度在兩極變得無意義——是圖卡的瑕疵，不是流形的瑕疵。
在地球上，經緯度是一張圖卡。它在大部分地表運作得很好，卻在兩極崩潰：所有經線在那裡交會，「向東」失去意義。這是座標奇點，不是地球上的破洞——在極點附近換用另一張圖卡（例如一小塊平直方格）就能在那裡恢復良好的座標。
經度在兩極失效是圖卡的毛病，不是球面的毛病——解法是疊上第二張圖卡。
初學者常把座標當成空間本身。它們不是：座標是可拆除的鷹架，真正的幾何陳述必須能在任何重疊的圖卡裡檢查，並給出相同的答案。