映射的微分（differential of a map）

假設一個光滑映射 F 把一個流形送進另一個流形——想像把一張平面薄片彎成彎曲形狀的變形，或是從曲面到空間的函數。把鏡頭拉到單一點極近處，任何光滑變形看起來都像一個簡單的線性伸縮加旋轉：那個局部的線性圖像就是微分。它是尋常導數的多變數、無座標版本，刻畫 F 如何扭曲一點附近的微小向量。

精確地說，若 F 把流形 M 送到流形 N、p 是 M 上一點，則 F 在 p 的微分（記作 dF_p）是從切空間 T_p M 到切空間 T_(F(p)) N 的一個線性映射。它依連鎖律作用在速度向量上：取一條通過 p、速度為 v 的曲線；把這曲線沿 F 推前，得到一條通過 F(p) 的曲線；那條像曲線的速度就是 dF_p(v)。在座標下，dF_p 恰好是 F 的偏導數所成的雅可比矩陣——但流形觀點讓這想法擺脫任何特定座標，使同一個對象在任兩個流形之間都有意義。

微分是把非線性幾何一次一點地化為線性代數的主力。它的秩告訴你 F 在局部是嵌入、淹沒（submersion），還是把東西摺疊起來；反函數定理與隱函數定理都透過它陳述。常見的失誤是把 F 本身（它移動點）和 dF_p（它移動切向量、且永遠線性）搞混。還要注意方向：向量沿 F 被推前，而餘向量與函數則被拉回——箭頭相反，這個區別在餘切空間處變得至關重要。