變數變換（Jacobian）公式（change-of-variables formula）
/ Jacobian: juh-KOH-bee-un /
對光滑且一對一的變換 Y = g(X)，有一條捷徑能一行給出 Y 的密度，不必每次重推 cdf。這就是變數變換公式，等於把 cdf 方法做過一次並記下來。
為何會出現一個修正因子？x 附近寬度為 dx 的小區間，會映到 y = g(x) 附近的一個小區間，但這個新區間被 g 的斜率拉伸或壓縮了。那一小段裡的機率量不能改變 —— 它是同樣的結果重新貼標籤 —— 所以若 g 把區間攤開，密度就必須下降以維持面積不變。公式把這點寫下來：f_Y(y) = f_X(x) 乘以 dx/dy 的絕對值，並在 x = g^{-1}(y) 處求值。因子 |dx/dy|（等價於 1 除以 |g'(x)|）就是一維的 Jacobian。永遠取絕對值，因為即使 g 遞減，密度也絕不為負。
把它讀成重新貼標籤下的機率守恆：密度乘以寬度保持不變，所以較陡的 g（拉伸寬度）會稀釋密度，較平的 g 會集中密度。此公式要求 g 在 X 的值域上單調（一對一）且可微。若 g 把數線對折（如平方），就拆成單調的片段並把各自的貢獻相加 —— 或乾脆用 cdf 方法。
設 X 為率 1 的指數分布，Y = X^3（在 x > 0 上單調遞增）。則 x = y^(1/3)，dx/dy = (1/3) y^(-2/3)。所以對 y > 0，f_Y(y) = f_X(y^(1/3)) 乘以 (1/3) y^(-2/3) = e^(-y^(1/3)) 乘以 (1/3) y^(-2/3)。Jacobian 因子 (1/3) y^(-2/3) 正是把密度重新縮放成新形狀的東西。
因子 |dx/dy| 重新縮放舊密度，使總機率守恆。
此公式適用於密度，且要求 g 一對一且可微。它「不」適用於離散變數（直接用 pmf），也不適用於未拆分支的非單調 g。永遠取 Jacobian 的絕對值。