多變數變數變換公式（multivariate change-of-variables formula）
你常常一次變換好幾個隨機變數：從直角座標 (X, Y) 換到極座標 (R, Theta)，或從一對測量值換到它們的和與差。多變數變數變換公式一次給出新變數的聯合密度。它是單變數 Jacobian 規則的高維手足。
邏輯完全相同：機率是體積，而變換會拉伸或壓縮小體積方塊。一維時拉伸因子是 |dx/dy|；在 n 維時則是 Jacobian 矩陣行列式的絕對值 —— 也就是舊變數對新變數所有偏導數構成的矩陣。那個行列式衡量一個微小 n 維體積方塊被映射縮放了多少。所以若 (U, V) = T(X, Y) 是光滑且一對一的映射、其逆為 (X, Y) = T^{-1}(U, V)，則 f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(x, y) 乘以 |det J|，全部在逆像處求值，J 為逆映射的 Jacobian。
這個公式是機率中一些最有用結果背後的引擎：它是你導出兩個獨立常態之比為 Cauchy 分布的方法、極座標技巧（Box-Muller）把兩個均勻變數變成兩個常態的方法，也是把和與差先聯合處理再求邊際的方法。每當你需要好幾個變數的好幾個函數的聯合分布，這就是工具。
從 (X, Y) 到 (U, V) = (X + Y, X - Y)：逆為 X = (U + V)/2、Y = (U - V)/2。逆映射的 Jacobian 矩陣行列式為 -1/2，故 |det J| = 1/2，f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}((u+v)/2, (u-v)/2) 乘以 1/2。這個 1/2 反映了旋轉並縮放的映射如何改變面積。
Jacobian 行列式的絕對值，就是多維的體積拉伸因子。
映射必須在密度所在區域上一對一，且必須用「整個」Jacobian 的行列式，而非分開的偏導數。若只要一個新變數，先變換成一對方便的變數，再把多餘的那個求邊際積掉。