雙調和方程（biharmonic equation）
/ by-har-MON-ik /
在邊緣夾固的一塊薄金屬板中央往下壓，或壓一塊堅硬的跳水板，看它如何下垂。與拍動的弦或鼓皮不同，板或樑會抗拒彎曲——它具有剛性，而它的撓曲方式不由 Laplacian 支配，而由把 Laplacian 用上兩次來支配。雙調和方程正是彈性力學中彎曲板與樑的主方程。
它寫作 Laplacian(Laplacian u) = 0，即 Laplacian^2 u = 0 或 Delta^2 u = 0，未知量 u 是板的撓度。滿足它的函數稱為雙調和的。在二維中展開，它是 u_xxxx + 2 u_xxyy + u_yyyy = 0——一個四階偏微分方程，比二階的拉普拉斯方程高了一階。拉普拉斯方程 Laplacian u = 0 模擬薄膜與穩態熱（由表面張力或傳導支配，它們懲罰一階導數），而雙調和方程模擬彎曲阻抗，它懲罰曲率——也就是二階導數——因此能量牽涉到 Laplacian 的平方，極小化它便得到一個四階方程。其一維類比是樑（尤拉-伯努利）方程 u_xxxx = 載荷。
身為四階方程，改變了你必須提供的邊界條件：一塊夾固的板在邊緣同時固定撓度 u 與其斜率（法向導數）——兩個條件，正如四階方程所要求。雙調和方程貫穿結構工程（樓板、橋樑、飛機蒙皮的撓曲）、貫穿二維中緩慢黏性（斯托克斯）流（其中流函數是雙調和的），並廣泛貫穿連續體力學。它是「世上並非每條偏微分方程都是二階」的典範例子——更高階的算子帶來更豐富的行為，也需要更多資料來確定。
夾固在牆上的跳水板：其靜態撓度 u(x) 滿足樑方程 u_xxxx = w（常數載荷 w），即一維雙調和方程。夾固意味著在牆處 u = 0 且 u_x = 0（無撓度、無斜率）；自由的板端則需對更高階導數再加兩個條件。四階方程配四個邊界條件——正如階數所要求。
四階 Laplacian^2 u = 0：彎曲剛性，每段邊界需兩個條件。
雙調和函數與調和函數並不相同：每個調和函數都是雙調和的，但雙調和函數未必滿足最大值原理，因此來自拉普拉斯方程的乾淨直覺，並非全都能搬到四階。