美式選擇權定價（American-option pricing）

美式選擇權與歐式的差別只在一點，卻是決定性的：持有人可在到期前的任一時刻履約，而非僅在最後一天。因此為它定價不是一次性的期望，而是一個最佳停止問題：公允價值是對所有受到期日 T 界定的停止時間 tau 取的、風險中性測度下折現期望回報的上確界，V_0 = sup_{tau <= T} E*[ e^(-r tau) g(S_tau) ]。持有人選 tau 求極大；賣方必須對持有人的最佳選擇做避險。這是斯涅爾包絡、自由邊界問題與風險中性定價三者在同一個應用物件中交會的典型場所。

在機制上有三種等價觀點。（1）斯涅爾包絡：把時間離散化並倒向歸納，U_t = max( g(S_t), e^(-r dt) E*[ U_{t+dt} given F_t ] )；價格即 U_0，在 U = g 之處履約。（2）自由邊界：在布萊克-休斯擴散模型中 V(t,s) 滿足變分不等式 min{ -V_t - L_BS V + r V, V - g } = 0，其中 L_BS 是布萊克-休斯算子；提前履約邊界 s*(t) 即自由邊界，由光滑接合（V 與 V_s 越過它時連續）相連。（3）分解：美式價格等於歐式價格加上一個提前履約溢價，即選擇權處於履約區時所累積之現金流的積分。對不付股息股票上的美式買權有個經典而誠實的事實：提前履約永不最佳，故其價格等於歐式買權；無股息時提前履約這個特性毫無價值。

美式定價是理論化為計算之處：一般沒有封閉解，故實務上用二項樹（離散斯涅爾包絡）、求解變分不等式的有限差分法，或帶迴歸的蒙地卡羅（Longstaff-Schwartz）來估計續行價值 E*[ U_{t+dt} given F_t ]。一個誠實的提醒：無股息股票上的賣權、以及付股息股票上的買權，確實會提前履約，且邊界 s*(t) 沒有初等公式；此外三種觀點的等價性依賴模型完備且無套利，使風險中性期望成為唯一的無套利價格——在不完備市場中為美式請求權定價會變成更微妙的（次／超避險）故事。