線性迴歸與最小平方法

把人們的年齡對其每年平均醫療花費畫成散點，你會得到一片向上漂移的點雲。線性迴歸就是穿過這片點雲畫出那條最佳直線的藝術，於是你可以說「年齡每多一歲，花費大約上升這麼多」。它之所以是世界上使用最多的統計工具，正是因為現實中如此之多的關係，大致就是一條直線加上散點。

該模型把結果 y 寫成預測變數 x 的一條直線：y = a + b*x + 誤差，其中 a 是截距（x 為零時的值），b 是斜率（x 每變化一單位 y 的變化量），誤差則吸收直線沒能捕捉的一切。所謂「最佳」，由最小平方定義：選取使各點到直線的垂直距離的平方和盡可能小的那條直線。平方會對大的偏差重重懲罰，並給出唯一、易於計算的答案。例如，把花費對年齡擬合可能得到 花費 = 500 + 80*年齡，即基線 500 加上每歲 80。R 平方則報告這條直線解釋了 y 的變動中多大的比例。

凡是資料有結構的地方，精算師都用迴歸：隨時間推斷理賠成本的趨勢、把損失與風險暴險聯繫起來、建立簡單的預測關係。它也是主宰現代定價的廣義線性模型的概念之父。兩條誠實的警告與之同行。第一，擬合出的斜率是一種相關，而非因果的證明——年齡或許只是與其他真正驅動花費的因素同步變化。第二，普通最小平方假定誤差的散佈大致恆定、關係確實是線性的；而保險資料偏斜、非負、且常是計數型的，頻繁違反這些假定——這正是 GLM 被引入的原因。