零穩定性

多步法從前幾個值構建每個新值，這個遞迴藏著單步法沒有的危險。公式可能有它自己的內部動態——與你的微分方程毫無關係、純粹從遞迴本身誕生的偽解。若那些寄生模態是成長而非保持有界，它們就會淹沒真正的答案，無論每一步看起來多準確。零穩定性正是阻止那些寄生模態爆炸的條件。

精確地說，零穩定性考察最簡單的測試，即平凡方程 y' = 0，在步長趨於零的極限下。此時方法化歸為 y 值之間純粹的線性遞迴，其行為由一個從方法係數構建的特徵多項式的根所主宰。零穩定性恰恰就是根條件：那個多項式的每個根的絕對值至多為 1，且任何絕對值恰為 1 的根必須是單根（不可重複）。通過它，微小的起始誤差在你走更多步時保持有界；不通過，它們便無限成長。

零穩定性是收斂性至關緊要的第二項成分。相容性說方法瞄準對的方程；零穩定性說方法不放大它沿途所犯的誤差；兩者合起來給出收斂性（Dahlquist 等價定理）。它也解釋了為何你不能免費把多步法做到任意高階：Dahlquist 障礙說，給定步數的零穩定線性多步法只能達到有限的階，所以追逐更高階終究要犧牲穩定性。注意這與絕對穩定性是不同的穩定性，後者關乎固定的非零 h，而非 h -> 0 的極限。