Wirtinger 導數（Wirtinger derivatives）
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Wirtinger 導數是一種巧妙的記帳工具，把 z = x + i y 與其共軛 z-bar = x - i y 當作彷彿兩個獨立變數，並各自對其微分。它們定義為 d/dz = (1/2)(d/dx - i d/dy) 與 d/dz-bar = (1/2)(d/dx + i d/dy)，是 x 與 y 普通偏導數的組合。
重點在於它們把一句口號講精確：函數恰在 df/dz-bar = 0 時解析——也就是當 f 完全不依賴 z-bar 時。若把 f 以 x、y 寫出，重組為 z 與 z-bar，發現沒有 z-bar 出現，則函數解析；若 z-bar 殘存（如 f = z-bar，或 |z|^2 = z 乘 z-bar），則不解析。直接展開得 df/dz-bar = (1/2)[(u_x - v_y) + i(u_y + v_x)]，它恰在 u_x = v_y 且 u_y = -v_x 時為零——這正是偽裝下的柯西-黎曼方程。
謹慎使用時 Wirtinger 演算真能省力：它讓你藉形式操作計算複導數，在對 z 微分時把 z-bar 當常數，並乾淨地推廣到多複變。誠實的告誡是：z 與 z-bar 其實「不」獨立（彼此互相決定），故此記法是形式上的方便；這些算子是光滑函數上真正的線性微分算子，而「解析 = 與 z-bar 無關」的口號是精確陳述 df/dz-bar = 0 的簡寫。
對 f = |z|^2 = z 乘 z-bar：d/dz-bar (z z-bar) = z（對 z-bar 微分時把 z 當常數），在原點之外非零。故 |z|^2 不解析——與「除 0 外其柯西-黎曼方程皆失敗」一致。
df/dz-bar = 0 是把柯西-黎曼方程重新打包成單一乾淨的算子方程。
z 與 z-bar 並非真正獨立的變數——此記法是形式上的方便。它之所以有效，是因為算子 d/dz 與 d/dz-bar 是 d/dx 與 d/dy 良好定義的實線性組合。