變異數如何縮放與平移

假設你把一個隨機量重新縮放或挪動——把溫度從攝氏換成華氏，或把所有考試成績一律加 5 分。它的散度會如何反應？這兩種操作行為非常不同，而一旦你把它想像出來，差別就很直覺。

加上常數 b 只是把整個分布往旁邊平移而不拉伸它，所以散度毫髮無傷：Var(X + b) = Var(X)。乘以常數 a 會把每個偏差拉伸 a 倍，而既然變異數由平方偏差構成，它就被拉伸 a 的平方倍：Var(aX) = a^2 Var(X)。合起來，Var(aX + b) = a^2 Var(X)。注意 b 完全消失，a 以平方出現（而 a 的正負號喪失，因為 a^2 為正——把分布翻轉不改變它的散度）。對標準差，平方根把它帶回 |a|：sd(aX + b) = |a| sd(X)。

這條規則是標準化資料的骨幹。要把 X 變成均值 0、變異數 1 的 z 分數，你計算 Z = (X - mu)/sigma：減去 mu 把均值移到 0（對變異數毫無影響），除以 sigma 把變異數縮放 1/sigma^2，把 Var(X) = sigma^2 變成 1。一個提醒：這條乾淨的規則只適用於仿射（線性加常數）變換。對非線性的 g，Var(g(X)) 並不是某個倍數乘以 Var(X)——你一般需要 LOTUS 或像 delta 法之類的近似。