信賴域法（trust-region method）
想像你在霧中測繪未知地形，只憑站立處所能感覺的，建一個簡單光滑的地面模型。這個模型只在附近可信——往外走幾步就成了虛構。於是你畫一個半徑為你所「信賴」的圓，在圓內找出模型的最低點，走過去。若真實地面與模型吻合，下次就更信賴、把圓放大；若它說了謊，就縮小圓再試。這就是信賴域法。
具體地說，在當前點 x_k 周圍，方法建一個二次模型 m(p) = f(x_k) + grad f(x_k)^T p + (1/2) p^T B_k p，其中 B_k 是海森矩陣或其近似。不像線搜尋先選方向再選步長，它一次解出兩者：在 ||p|| <= Delta_k（信賴域半徑）的限制下最小化模型 m(p)。試探步 p 就是模型在那顆球內的最佳一步。接著量「吻合比」rho =（f 的實際減量）/（模型預測的減量）。若 rho 接近 1（模型很準），接受該步並放大 Delta；若 rho 很小或為負（模型過度承諾），拒絕該步並縮小 Delta。半徑會依局部模型的可靠度自動調整。
信賴域與線搜尋是步長控制的兩大支柱，而信賴域有個關鍵優勢：當海森矩陣非正定時它依然優雅運作——在鞍點附近或負曲率區域裡，純牛頓的線搜尋步可能指向上坡或爆掉，而信賴域只是把步長封頂，仍能安全前進。這份穩健讓它成為列文柏格-馬夸特法（其阻尼參數正是一個隱含的信賴域半徑）以及許多正式非線性求解器的骨幹。誠實的代價是：每次迭代精確求解那個約束子問題（信賴域子問題）比回溯線搜尋更費事，所以實務程式只近似求解（例如用 dogleg 法或 Steihaug-CG 法）。
假設二次模型預測：若走完整的牛頓步 f 會降 10，但該步落在信賴半徑 Delta = 2 之外，於是改走長度為 2 的最佳步。模型在該處預測降 6；真實函數降 5.4，故 rho = 5.4 / 6 = 0.9——吻合良好，於是接受並放大 Delta。若 f 反而上升，rho < 0：拒絕、縮小 Delta、重新求解。
只在一顆球內信賴模型；依預測準度調整球的大小。
信賴域與線搜尋從相反方向解決同一問題：線搜尋先固定方向再選長度，信賴域先固定最大長度再在其內選最佳方向。當曲率不定（鞍點附近）、牛頓線搜尋方向可能毫無意義時，信賴域勝出。