熱擴散率（thermal diffusivity）

摸摸同一鍋熱湯裡的金屬湯匙和木湯匙：金屬的會燙傷你，木頭的不會，儘管兩者都達到相同溫度。差別在於熱在它們之中傳得多快。熱擴散率就是熱方程裡衡量這個「散開速度」的單一數字。

在熱方程 u_t = k u_xx 中，常數 k 就是熱擴散率。物理上它打包了三個材料性質：k = kappa / (rho c)，其中 kappa 是熱導率（熱傳導的容易程度），rho 是密度，rho c 是單位體積熱容（升溫所需的熱量）。所以 k 大表示材料相對於它儲存的熱量而言傳導得很好——金屬 k 大，木頭和水 k 小。它的單位是長度平方除以時間，這正是它意義的深層線索：擾動在時間 t 內散開的距離量級是 sqrt(k t)。想知道熱穿透深度 d 要多久？大致 t ~ d^2 / k。深度加倍，時間變四倍。

由於 k 是裸熱方程裡唯一的時間與長度尺度，它掌控所有定量行為：傅立葉模態衰減多快（第 n 個模態以 e^(-k (n pi / L)^2 t) 衰減）、熱核散開多寬、物體多快達到穩態。常見的混淆：別把擴散率 k（決定平滑的速度）和熱導率 kappa（決定穩態熱通量）搞混。兩種材料的熱導率可能相同，但若熱容不同，擴散速度可能差很多。