符號積分（symbolic integration）

符號微積分有兩半，而它們戲劇性地不對等。符號微分——求一條公式的精確導數——是機械且容易的：一小組規則（乘積、商、連鎖）作用於表達式樹，每次都把 sin(x^2) 變成 2x cos(x^2)，它也是自動微分由之長出的種子。符號積分——求一個精確反導數，一條其導數正是你起初那函數的公式——則是那困難、深刻、有時不可能的手足。

微分如此可靠，是因為每條規則都把問題縮向初等零件的已知導數；電腦代數系統只是走過樹並組裝答案。積分沒有這種有保證的行進。經典的做法混合了一張已知積分表、變數代換、分部積分，與部分分式分解（這正是分母的多項式因式分解重要的原因）；針對初等函數的現代、完整做法是里施演算法，一個判定程序，要嘛產生一個初等反導數，要嘛證明它不存在。對新手最刺耳的事實正是那個「不存在」的證明：許多看起來人畜無害的函數，根本沒有能用初等項表達的反導數。

符號積分之所以重要，是因為一個封閉形式的積分可以被分析、微分回去驗證、求值到任意精度、並重複使用——遠勝於單一個數。但誠實的現實很殘酷。微分永遠成功；積分卻可能合理地回答「不存在初等反導數」，正如對 exp(-x^2)（那條積分支撐整個統計學的鐘形曲線）或 sin(x)/x 那樣。發生時，你退回數值求積得到一個數，或退回特殊函數（誤差函數 erf、正弦積分 Si）來為那個原本寫不出的答案命名。符號積分與數值積分是夥伴，而非對手。