均值為零的獨立變數之和作為鞅（sum of mean-zero independent variables as a martingale）
這是鞅最基本也最重要的例子，是你該牢記在心的那一個。取任何一列獨立隨機變數 X_1, X_2, ...，每個均值為零（每個都是「公平的衝擊」，平均而言往上推與往下推的可能性相當）。一步步把它們加起來：S_n = X_1 + X_2 + ... + X_n。這個跑動的總和 S_n 是一個鞅。這正是一個賭徒做一連串獨立公平賭注的模型，其中 S_n 是累積贏額，也是簡單隨機漫步背後的引擎。
驗證只有一行，值得做一次好讓概念扎根。對過去 F_n（前 n 個變數）取條件。則 S_(n+1) = S_n + X_(n+1)，其中 S_n 在給定過去下已知，而 X_(n+1) 獨立於過去且均值為零。於是 E[S_(n+1) given F_n] = S_n + E[X_(n+1)] = S_n + 0 = S_n，即鞅方程。注意究竟用了什麼：獨立性讓新項的條件期望化簡為它的普通期望，而均值為零的假設使那個值為零。若每個 X_i 改為均值 mu，同樣的計算給出 E[S_(n+1) given F_n] = S_n + mu，所以當 mu > 0 時 S_n 是下鞅、mu < 0 時是上鞅——而 S_n - n*mu（重新中心化的和）又再次是鞅。
這個例子是整套理論生長的種子。中心化的部分和讓你能把關於和的極限定理轉化為鞅陳述：大數法則與中央極限定理的鞅版本把獨立和的情形推廣到有相依的設定。一個小而重要的提醒：獨立性遠超過鞅性質所需要的。鞅性質只需要每個新增量在給定過去下的條件均值為零——增量在其他任何方面都可以相依。正是這份額外的鬆動，使鞅的觸及範圍比獨立變數之和遠得多。
令 X_i 以各 1/2 的機率為 +1 或 -1（均值為零）。則 S_n = X_1 + ... + X_n 是簡單對稱隨機漫步，也是鞅：在給定至今漫步之下，下一步以相等機率加 +1 或 -1，故其條件期望為 S_n。若步長偏置、均值為 mu，則重新中心化為 S_n - n*mu 即可還原成鞅。
中心化的部分和是鞅的原型；偏置漫步減去 n 倍均值即完成中心化。
獨立性比所需更強：鞅性質只要求每個增量在給定過去下條件均值為零，這正是鞅能推廣獨立變數之和的原因。