逐次逼近（successive approximations）

逐次逼近是一種通用策略：透過產生一連串越來越好的猜測來解決難題，每個猜測都由前一個算出，並論證這個序列最終落在真正的答案上。在微分方程裡，它和皮卡迭代是同一台引擎——這兩個名稱其實可以互換——但這個想法更寬廣，值得就其本身來看，因為這個模式在數學各處反覆出現。

其機制總是同一個形狀。你把問題重塑成「找一個東西 x 使得 x = T(x)」，其中 T 是某個把候選者拿來、回傳一個精煉候選者的操作。然後你迭代：x1 = T(x0)、x2 = T(x1)、x3 = T(x2)，如此下去，期望 xn 逼近一個不動點，在那裡施加 T 什麼也不改變。對初值問題，候選者是一個函數，T 是把 y 送到「y0 加上 f(t, y(t)) dt 的積分」的積分算子；對牛頓法求平方根，候選者是一個數；對迭代解線性方程組，候選者是一個向量。當 T 是壓縮時——當每一輪都把到答案的距離縮小一個固定倍數時——收斂就有保證，而誤差以幾何速率衰減。

誠實的重點在於：什麼使它行得通，何時又不行。整個方法仰賴 T 是壓縮；少了那個縮小的性質，猜測可能漂移、振盪或失控，而非收斂。這正是為什麼利普希茨條件在常微分方程裡如此要緊——它正是那個使相關算子在夠短區間上成為壓縮的假設。因此逐次逼近與其說是一招，不如說是一面統一的透鏡：許多存在性證明與許多數值格式都是同一個動作——造一個壓縮，然後迭代。