小子圖計數與第二動差法（small subgraph counts and the second-moment method）
關於隨機圖的一個基本問題族是：它何時含有一個固定小圖 H 的拷貝——三角形、四圈、完全圖 K_4、路徑？答案來自透過前兩個動差控制隨機變數 X =（G(n,p) 中 H 拷貝的數目）。這一配對——用第一動差法證明某性質不成立、用第二動差法證明它成立——是本領域的主力技術，也是機率方法最乾淨的例示。它回答的問題是：在哪個密度下，某個給定的局部結構會出現，又為何恰在那裡？
第一動差法就是馬可夫不等式：P(X >= 1) <= E[X]，故若 E[X] 趨於 0 則 whp X = 0（無 H 拷貝）。拷貝數目的期望為 E[X] =（放置 H 的方式數）乘以 p^(e_H)，其標度如 n^(v_H) p^(e_H)，其中 v_H、e_H 是 H 的頂點與邊數。它在門檻 p* = n^(-v_H/e_H) 以下趨於 0——但真正的門檻並非由 H 本身、而是由其最稠密子圖支配：定義最大密度 m(H) = 對 H 的子圖 F 取 (e_F / v_F) 之最大值，則門檻為 p* = n^(-1/m(H))。理由是：稀疏的 H 只能在其最稠密部分出現後才出現。要證明拷貝在門檻之上確實出現，不能用第一動差（大均值不蘊涵 X >= 1）；要用第二動差法，即 Paley-Zygmund／柴比雪夫界 P(X = 0) <= Var(X)/E[X]^2。算 Var(X) 時把潛在拷貝兩兩之間的共變數依其共享頂點數加總；若 E[X] 趨於無窮且變異數階數小於 E[X]^2（當重疊項受控時成立，即對所謂平衡的 H），則 X/E[X] 趨於 1，特別地 whp X >= 1。
這兩個動差合起來能定位每個固定子圖的出現門檻，並且配合斯坦因-陳的精細化，甚至給出計數在門檻處的卜瓦松極限律。此技術遠超圖論：它是證明組合物件存在（拉姆齊圖、設計）、著色數下界與計數集中的方法。要保持的誠實：第二動差法需要變異數相對於均值平方真的很小，而當 H 不平衡（某子圖比整體更稠密）時這可能失效——此時 E[X] 可趨於無窮而 X 仍 whp 為 0，因為計數被罕見的群聚組態主導。這正是為何門檻由最稠密子圖 m(H)、而非 H 整體密度決定；弄錯這點就是典型的錯誤。
對三角形 H = K_3，v_H = 3、e_H = 3，且 K_3 是它自己的最稠密子圖故 m(H) = 1，門檻為 p* = n^(-1)。對「風箏」（一個三角形帶一條懸垂邊），v_H = 4、e_H = 4 故樸素比值也給 n^(-1)，而最稠密子圖確實仍是三角形（密度 1），故風箏在相同的 p* = 1/n 出現——一旦三角形在那，那條懸垂邊基本上是免費的。
出現門檻由最稠密子圖 m(H) 設定，而非由 H 整體的邊頂點比。
第一動差小蘊涵 X = 0；但第一動差大並不蘊涵 X >= 1——你需要第二動差。第二動差法對不平衡子圖可能失效；正確門檻是 n^(-1/m(H))，其中 m(H) 是最大子圖密度。