單調圖性質的門檻（thresholds for monotone graph properties）
一個圖性質若加邊永遠不會破壞它，便稱為單調遞增：連通、含三角形、含完美匹配、是哈密頓圖都是遞增的，而它們的否定則是單調遞減的。隨機圖理論的核心發現是：本質上每個單調性質都有一個門檻——一個函數 p*(n)，使得當 p 遠小於 p* 時該性質成立的機率趨於 0，而當 p 遠大於 p* 時則趨於 1。它回答的問題是：在哪個邊密度下，某個想要的特徵會突然出現？
精確的敘述（由 Bollobas 與 Thomason 給出）是：每個非平凡的單調性質都有一個門檻函數 p*(n)，意即存在 p*(n) 使得當 p/p* 趨於 0 時 P(G(n,p) 具該性質) 趨於 0，而當 p/p* 趨於無窮時趨於 1。此定義只把門檻決定到常數倍（一般而言它是粗門檻）。它之所以存在的直觀理由是單調性加上一個耦合論證：可在同一機率空間上對 p < q 建構 G(n,p) 與 G(n,q)，使前者是後者的子圖，這迫使遞增性質的機率成為 p 的非遞減、實則相當陡升的函數。不同性質的門檻天差地別：固定子圖 H 的出現門檻（其「最稠密部分」的邊頂點比為 rho）是 p* = n^(-1/rho)；連通性的門檻是 (log n)/n；三角形於 p* = 1/n 出現。
門檻是整個學科的組織原則——幾乎每個結果都是門檻敘述。它們之所以重要，是因為把含糊的問題（「圖何時變連通？」）化為尖銳的定量律，也因為用來定位它們的方法（第一與第二動差法、分支啟發、耦合）可跨組合學、統計物理與理論計算機科學重複使用。一個值得明說的提醒：「有門檻」比「有銳門檻」弱。Bollobas-Thomason 定理保證每個單調性質都有一個常數倍意義下的門檻，但相變是否為銳（發生在遠窄於門檻本身的窗口內）是另一個常常很深的問題，一般由 Friedgut-Kalai 與 Friedgut 的銳門檻理論解決。
「至少含一個三角形」這個性質是單調遞增的，門檻為 p* = 1/n。三角形數目的期望為 C(n,3) p^3，約等於 (np)^3/6：若 p = o(1/n) 則趨於 0（由第一動差法，whp 無三角形），而若 p 比 1/n 更快趨於無窮，第二動差法便顯示三角形 whp 會出現。
教科書式的門檻：三角形在 p 為 1/n 階時誕生，靠把其期望數目與零平衡來定位。
對單調性質而言「有門檻」（到常數倍）是自動的；「有銳門檻」則否，需要額外結構。切勿混淆二者：含三角形是粗門檻，而連通性是銳門檻。