隨機極大原理（stochastic maximum principle）
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隨機極大原理是通往隨機控制問題的第二條大路，與動態規劃平行且對偶。動態規劃要求整個狀態空間上的價值函數（一個多變數的偏微分方程），極大原理則只沿單一最佳軌跡而行，並透過一個額外的伴隨（共態）過程沿途逐點刻劃最佳控制。它是龐特里亞金確定性極大原理的隨機推廣，當狀態空間高維（此時解 HJB 偏微分方程無望）或雜訊以破壞動態規劃馬可夫假設的方式依賴控制時，它是自然的語言。
其建構引入一個漢密爾頓量與一個伴隨過程。對 dX = b(X,u) dt + sigma(X,u) dB、成本 integral f + g，定義漢密爾頓量 H(x,u,p,q) = b(x,u) . p + trace( sigma(x,u)^T q ) + f(x,u)。一階伴隨過程 (p_t, q_t) 解一個倒向隨機微分方程（BSDE），自終端條件 p_T = grad g(X_T) 倒向運行：dp_t = - grad_x H(X_t, u_t, p_t, q_t) dt + q_t dB_t。關鍵的額外未知量是 q_t——它因「p_t 須適應、儘管其終端條件給在時刻 T」這個要求而被迫存在，恰是鞅表示的被積函數。原理隨即陳述：沿最佳控制 u*，漢密爾頓量逐點被極小化（成本極小化情形），u*_t = argmin_u H(X_t, u, p_t, q_t)，對幾乎每個 t 幾乎必然成立。對凸問題此必要條件也是充分的。
極大原理之所以重要，在於它能在 HJB 失效之處擴展、自然處理一般（非馬可夫、隨機係數）問題、並揭示深刻的對偶性：當 V 光滑時，伴隨 p_t 恰是價值函數的梯度，p_t = grad_x V(t, X_t)，故兩種方法是同一答案的兩個面貌。一個誠實的提醒：二階項——q_t 過程，以及在一般（漢密爾頓量非凸、擴散依賴控制）情形下還有第二個伴隨過程與一個二階修正項——是不可或缺的，正是它使隨機極大原理確實比確定性的更難；丟掉它就得到錯誤條件。此外，該原理給的是最佳性的必要條件；充分性需要凸性（例如 H 對 (x,u) 凸且 g 凸），而最佳控制的存在則是另一個問題。
對 LQG 問題伴隨過程變為線性：在二次成本下，p_t 結果為 p_t = P(t) X_t，P(t) 即黎卡提矩陣，而漢密爾頓量極小化步驟 grad_u H = 0 給出 R u + B^T p = 0，即 u* = -R^{-1} B^T P X——正是 HJB／黎卡提途徑所得的同一線性回饋。兩法一致，且 p_t = grad_x V 使對偶性顯露無遺。
在 LQG 中伴隨過程為 P(t)X_t，極大原理重現黎卡提回饋——兩條路徑交會。
該原理是必要條件，未必自動充分——充分性需要凸性。而二階（q_t，及一般情形下的第二個伴隨）項不可或缺；省略它會給出錯誤的最佳性條件，這正是隨機原理有別於確定性原理之處。