譜半徑收斂準則

這裡有一個事實，單獨決定了任何定常迭代的成敗。把迭代寫成 x_{k+1} = G x_k + c。每一步的誤差都被迭代矩陣 G 乘一次：e_{k+1} = G e_k，所以 e_k = G^k e_0。「誤差會消退嗎？」這個問題，因此就是「冪次 G^k 會縮到零嗎？」而答案由附在 G 上的單一數字決定——它的譜半徑，記作 rho(G)，即 G 的特徵值中絕對值最大者。

定理很乾淨：迭代對任何起始猜測都收斂到真解，若且唯若 rho(G) < 1。直覺如下：把誤差分解到 G 的各特徵方向上；沿著特徵值為 lambda 的特徵方向，每一步把該誤差分量乘上 lambda，k 步後成為 lambda^k。若每個 |lambda| < 1，每個分量都幾何衰減，總誤差消失；只要有一個 |lambda| >= 1，該分量就拒絕縮小（甚至增長），你便失敗。此外 rho(G) 還決定漸近的「速度」：誤差最終每步大致縮小 rho(G) 倍，所以 rho(G) = 0.9 意味痛苦地慢（約每 22 步才減少一位數），而 rho(G) = 0.1 則飛快（每步一位數）。

兩個誠實的提醒。第一，收斂取決於 rho(G)，即特徵值大小——而非矩陣範數 ||G||。一個矩陣可以 ||G|| > 1 而 rho(G) < 1，仍會收斂，只是可能歷經一段長長的暫態、誤差先增長才終於衰減。第二，rho(G) 告訴你最終的漸近速率，未必是頭幾步的行為。實務上你很少精確算出 rho(G)（那本身就是個特徵值問題）；你會改為觀察殘差，並用收斂理論判斷哪些方法對你這類矩陣是安全的。