特徵多項式的病態性
你在線性代數學過，方陣 A 的特徵值（eigenvalue）就是其特徵多項式 p(lambda) = det(A - lambda I) 的根。於是用數值方法求特徵值，最直接的想法就是：把那個行列式展開成多項式，再求它的根。但這個想法是個陷阱。先組出多項式、再求根，是電腦上計算特徵值最糟糕的做法之一，而理解箇中原因，正是通往所有正規特徵值演算法的門檻。
問題在於：多項式的根對其係數的微小變動可能極度敏感，即使原矩陣的特徵值本身相當溫和也一樣。維爾金森（Wilkinson）著名的例子是根落在 1, 2, 3, ..., 20 的多項式。把 lambda^19 的係數擾動約 2^(-23)（第七位小數的改變），有些根就會移動好幾個單位，甚至分裂成共軛複數對。因此從「矩陣到係數到根」的過程，中間經過一個極度病態（ill-conditioned）的環節：組係數或存係數時的微小捨入誤差，在求根時被災難性地放大。
誠實的結論是：絕對不要靠建立並求解特徵多項式來找特徵值；即使矩陣本身良態（well-conditioned），這條管線在數值上也是不穩定的。實務上每一個特徵值求解器都直接在矩陣上、透過正交變換運作（QR 演算法、冪法、克雷洛夫法）。這個教訓可以推廣：一個精確的數學恆等式（特徵值＝多項式的根）可能是個糟糕的計算配方。有趣的是，反方向反而成立：要可靠地求多項式的根，軟體常常會組出它的伴隨矩陣（companion matrix），然後計算那個矩陣的特徵值。
取 A 為 2x2 矩陣，列為 (1, 1000) 與 (0, 1)，它的特徵值都是 1。現在把左下角的元素從 0 擾動為極小的 1e-6。特徵多項式變成 lambda^2 - 2 lambda + (1 - 0.001)，根為 1 +/- sqrt(0.001) ~= 1.0316 與 0.9684——元素只變了 1e-6，特徵值卻變了約 0.03。那個很大的非對角元素（這是非正規矩陣）讓特徵值變敏感，而再經過係數這條路只會雪上加霜。
矩陣的微小擾動可能讓特徵值大幅移動；再繞道多項式係數只會加劇這種破壞。
這講的是演算法的不穩定，而非特徵值無意義：對稱矩陣的特徵值是完全良態的，但組出它的特徵多項式再求根仍會喪失精度。即使底層問題很好，走多項式這條路依然糟糕。