二項分配的形狀（shape of the binomial）

如果你畫出二項分配的長條圖——對 0 到 n 的每個可能成功次數各畫一根長條——一個清楚的個性會浮現，知道它能讓你一眼檢核答案是否合理。長條升至單一高峰再落下，像一座或歪斜或對稱的小丘。峰在哪、丘有多歪，都僅由 n 與 p 控制。

三件事決定了這幅圖。第一是中心：最可能的次數聚集在均值 np 附近。第二是對稱性：當 p = 0.5 圖形完全對稱（正面與反面可互換）；當 p 很小，它向右傾斜，朝較大次數拖出長尾（想想罕見的成功）；當 p 很大則向左傾斜。偏態等於 (1 - 2p) 除以 np(1 - p) 的平方根，因此在 p = 0.5 時為零，並隨 n 增大而縮小。第三是離散：標準差為 np(1 - p) 的平方根，所以試驗愈多小丘愈寬，但中心附近的長條也各自變矮，因為機率被攤到更多結果上。

最美的後果是：隨著 n 增大，二項的長條會描繪出熟悉的鐘形曲線。這正是中央極限定理在運作——二項是 n 個獨立 0/1 試驗之和，而許多獨立片段之和會趨於常態。常見的經驗法則說，一旦 np 與 n(1 - p) 都超過約 10，常態近似就還不錯。但要小心另一個極限：若改成 p 縮小而 np 維持中等，鐘形永遠不會成形，你得到的反而是歪斜的卜瓦松形狀。