可分離初值問題（separable IVP）
可分離初值問題把一個可分離微分方程與一個起始事實配在一起——解必須通過的單一個點。它不要求整個曲線家族，而是要求通過 (x_0, y_0) 的那一條特定曲線。這是大多數現實問題採取的形式：你知道某物如何變化、從哪裡開始，並想知道它的未來。
你分兩個清楚的階段來解。第一，用分離變數法解微分方程得到通解（常為隱式），帶著任意常數 C。第二，把初始條件 y(x_0) = y_0 代入那些數字並解出 C，從家族中挑出一個成員。有個漂亮的捷徑把兩步一次打包：從初始資料積分，從 y_0 到 y 的 dy/g(y) 的積分 = 從 x_0 到 x 的 f(x) dx 的積分，使用以初始點為界限的定積分——這把條件內建進去，省去另外解 C。你仍須留意常數解：若 y_0 恰好是 g(y) 的根，解可能就是常數 y = y_0。
可分離初值問題是抽象通解化為具體預測之處，遍布各門科學。但關於唯一性的誠實在這裡很重要：當 g(y) 在初始值處行為失常時，可分離方程可能違反唯一性。標準的警世例子是 y' = y^(1/3) 配 y(0) = 0——分離給出一個解，然而 y(x) = 0 也是通過同一點的解，所以這個初值問題有不只一個答案。存在唯一性定理正好解釋這種情況何時會發生。
解 dy/dx = x/y，y(0) = 3。分離：y dy = x dx；積分：y^2/2 = x^2/2 + C。代入 y(0) = 3：9/2 = 0 + C，於是 C = 9/2。因此 y^2 = x^2 + 9，取通過 (0, 3) 的分支，y = sqrt(x^2 + 9)。
先解出家族，再用初始點同時釘住 C 並選對分支（這裡是正根）。
當初始 y_0 是 g(y) 的根時，唯一解可能就是常數 y = y_0——而在 g 於該處行為失常之處（如 y' = y^(1/3) 在 0 處），唯一性可能徹底失效。