龍貝格積分（Romberg integration）

梯形法則很樸實——只有二階——但它藏著一份禮物：當你反覆把步長減半，它的誤差會以極其規律、可預測的模式收縮（只含 h 的偶次方）。龍貝格積分開採這份規律。它在好幾個步長下跑便宜的梯形法則，再用理查森外推有系統地一項接一項消去誤差，從二階爬到四階、六階乃至更高——免費把一個弱法則變成強法則。

建一張三角形的表。第一欄 R(k, 0) 是用 2^k 條的複合梯形估計（所以每一列把步長減半）。因為梯形誤差純以偶次方 h^2, h^4, h^6, ... 展開，一次理查森步驟就消去 h^2 項：R(k, 1) = R(k, 0) + (R(k, 0) - R(k-1, 0)) / (4^1 - 1)，而值得注意的是，這一欄恰好等於複合辛普森法則。下一欄消去 h^4，給出六階法則（布爾），而一般地 R(k, j) = R(k, j-1) + (R(k, j-1) - R(k-1, j-1)) / (4^j - 1)。對角線項 R(k, k) 是最珍貴、最高階的估計；對光滑被積函數，它們收斂得快得驚人，常只用屈指可數的幾次梯形計算就達到完整的雙精度。

龍貝格是把理查森外推用於積分的課本典範，也是對光滑一維積分真正實用的方法。它的威力完全來自那個偶次方誤差展開（歐拉-麥克勞林公式為光滑函數保證了它）。誠實的提醒因此正是那個假設：若被積函數有奇異點、折角，或高階導數無界，偶次方展開就失效，外推會消去錯誤的項，那著名的對角線加速隨之蒸發——對這類被積函數，自適應或處理奇異點的方法才是對的工具。