純時間方程 y' = f(x)

所有微分方程中最簡單的，是右邊完全不提及未知函數的那種。純時間方程具有形式 y' = f(x)：變化率只依賴自變數 x（常常是時間），而不依賴 y 本身。它幾乎配不上「微分方程」這個名字——它其實只是一個披著導數外衣的積分問題。

由於右邊是只含 x 的已知函數，沒有什麼需要拆解。你用直接積分來解：y = f(x) 的積分 + C，即 f 的反導數加一個任意常數。可分離法與線性法（取 p(x) = 0）在這裡都化約成同一個單一步驟；積分因子不過是 mu = e^0 = 1，所以沒有乘上任何東西。任意常數 C 正是解在某個選定起點所應有的值，由初始條件設定。「純時間」這個名稱來自把 x 當時間的圖像：你被告知每一瞬間的速度 f(t)，再藉由累積它來還原位置。

這個情形作為通往較難情形出發的大本營而重要，並使積分常數的角色變得具體。它也帶來一個誠實的提醒：連這個最容易的方程都可能沒有初等答案，因為 f(x) 的積分未必是初等函數。經典例子是 y' = e^(-x^2)，其解涉及誤差函數——沒有初等形式的公式存在，儘管方程本身再簡單不過。