機率積分變換（probability integral transform）
這裡有個小奇蹟，把每一個連續分布都繫回同一個共同參照。取任何連續隨機變數 X，把它自己的值餵進它自己的累積分布函數 F，結果 U = F(X) 在 (0, 1) 上均勻分布 —— 不論 X 原本是什麼。厚尾、偏斜、鐘形：讓它通過自己的 cdf，出來的就是一個平坦、毫無特徵的均勻分布。
為什麼會這樣？cdf F 把 X 的每個值映到落在它左邊的機率比例。X 結果中最低的 10% 被映到 0.10 以下、最低的一半映到 0.50 以下，依此類推 —— 這正是輸出為均勻的意思：等大小的機率厚片映到等長度的區間。要驗證它，算 P(U at most u) = P(F(X) at most u) = P(X at most F^{-1}(u)) = F(F^{-1}(u)) = u，正是均勻分布的 cdf。cdf 正是依累積機率替結果排名的函數，所以它總會把自己的變數壓平。
這是兩件重要實務背後安靜的引擎。反過來用，它讓你能從一個均勻亂數生成任何分布（逆變換法）。正著用，它是配適度檢定與 copula 的基礎：把你的資料通過配適好的 cdf 變換，若配適得好，變換後的值應看起來像均勻。注意：只有當 X 連續時結果才「恰好」均勻；對有跳躍的離散 X，F(X) 落在離散集合上，並非均勻。
設 X 為率 1 的指數分布，故 F(x) = 1 - e^(-x)。則 U = F(X) = 1 - e^(-X) 在 (0, 1) 上均勻分布。驗證：P(U at most u) = P(1 - e^(-X) at most u) = P(X at most -ln(1 - u)) = 1 - e^(ln(1-u)) = u。偏斜的指數分布被它自己的 cdf 壓平成了均勻分布。
任何連續變數通過它自己的 cdf，出來都是 (0, 1) 上的均勻分布。
它只對連續 X 恰好成立。對離散 X，F(X) 並非均勻，因為 cdf 會跳躍並略過某些值。結果 U 是均勻的；別把它與 X 是均勻的混為一談。