接觸過程（contact process）

接觸過程是描述流行病或入侵在網路上擴散的典範交互作用粒子系統模型。Z^d（或一個圖）的每個位點 x 不是健康（eta(x) = 0）就是被感染（eta(x) = 1）。被感染的位點以速率 1 康復，無免疫地回到健康；健康的位點以速率 lambda 乘其當前被感染鄰居數的速率被感染。單一參數 lambda 是感染率，即傳染相對於康復的強度。它是 SIS（易感-感染-易感）流行病的空間對應物，提出的是流行病學的核心問題：從單一被感染位點出發，感染會消亡，還是能存活並永久擴散？

形式上翻轉速率為：若 eta(x) = 1 則 c(x, eta) = 1（康復）；若 eta(x) = 0 則 c(x, eta) = lambda *（x 的被感染鄰居數）（感染）。全健康組態是吸收態——一旦人人健康，無物能重啟感染——故空狀態永為陷阱，其上的 delta 測度永為不變。接觸過程具吸引性（單調）：現在感染愈多則日後感染愈多，這容許基本耦合，以及帶有感染箭頭（沿每條有向邊速率 lambda 的卜瓦松）與康復標記（每位點速率 1 的卜瓦松）的圖示建構。它以自對偶、單調的意義對偶於自身：從集合 A 出發的感染在時刻 t 到達集合 B 的機率，等於從 B 出發者到達 A 的機率——形式上 P(eta_t^A 交 B 非空) = P(eta_t^B 交 A 非空)，這把存活問題化約為單一增長叢集的行為。接觸過程並非精確可解；其分析仰賴單調性、次可加性、對偶與滲流比較，而非閉式公式。

接觸過程之所以重要，在於它是最乾淨、嚴謹地展現隨機空間流行病中真正相變的模型：存在臨界值 lambda_c（依維度與圖而定），低於它時任何有限種子的感染幾乎必然消亡，高於它時則以正機率存活。它也是完全收斂定理的標準試驗場，該定理描述任意初始組態的長程分布。誠實的提醒：lambda_c 只藉界與數值已知，並無閉式（在 d = 1 約為 1.649），而恰在 lambda_c 處的行為本身就是深刻結果——接觸過程在臨界處消亡（Bezuidenhout-Grimmett），這是一項重大定理，而非顯然的事實。