接觸過程的存活與消亡（survival versus extinction in the contact process）

存活與消亡是接觸過程的核心二分法，也是隨機空間系統相變的原型。從單一被感染位點出發，接觸過程要麼消亡——在有限時間內到達全健康吸收態——要麼存活，感染永久持續。何者發生由感染率 lambda 主宰，而分隔兩相的鮮明門檻是臨界值 lambda_c。這是平均場流行病學中熟悉的流行病門檻（基本再生數 R0 越過 1）的嚴謹空間對應物。

有幾個須分清的不同概念。消亡指從有限種子出發的過程幾乎必然到達空組態。弱存活（或全域存活）指被感染位點總數以正機率永久維持為正。強（局部）存活指某固定位點被無窮多次重新感染。在 Z^d 上這些概念重合，定義出單一臨界 lambda_c 屬於 (0, infinity)：lambda < lambda_c 時感染幾乎必然消亡；lambda > lambda_c 時以正機率存活。證明存在非平凡相變用到兩種比較：與次臨界分支過程的比較或小叢集界證明 lambda_c > 0（低感染率消亡），而區塊／有向滲流建構證明 lambda_c < infinity（高感染率存活）。對 lambda 的單調性（透過基本耦合，感染愈多只會有益）使 lambda_c 成為定義良好的真正門檻。由自對偶，單一位點感染的存活等價於非平凡上不變測度的存在，即從全感染出發的極限，它恰在 lambda > lambda_c 時非零。

此相變之重要，在於它是能嚴謹證明「局部交互規則產生宏觀門檻現象」的最乾淨範例，也是測試如改編到動態上的輪廓／Peierls 論證等技巧的主力。幾個誠實要點：lambda_c 依維度與圖而定（在樹上甚至有兩個相異臨界值，全域存活的 lambda_1 與局部存活的 lambda_2，且 lambda_1 < lambda_2——在樹上可能有全域存活而無局部存活）。lambda_c 的值在任何維度 d >= 1 皆未精確得知；它只被界定與估計。最重要的是，恰在 lambda = lambda_c 處過程消亡（Bezuidenhout 與 Grimmett 證明 Z^d 上的臨界接觸過程消亡），故不同於某些平衡模型，恰在臨界處並無存活相——這是深刻結果，而非定義。