D 的多項式代數（polynomial-in-D algebra）

這裡有一個小小的數學戲法，回報卻極為豐厚。一旦你把導數寫成符號 D，像 D^2 - 3D + 2 這樣的式子，看起來就跟普通多項式 r^2 - 3r + 2 一模一樣。大膽的想法是把它當成多項式來對待：用你在學校學的那套相同的代數規則去加、乘、因式分解這些 D 式子——而且，對常係數，這一切都行得通。

具體地說，對常係數算子，你可以逐項相加、以複合來相乘（這對應於多項式相乘）、並完全像對 r 的多項式那樣因式分解。所以 D^2 - 3D + 2 分解為 (D - 1)(D - 2)，意思是「先施加 D - 2，再施加 D - 1」。位移規則讓這套微積分變得容易：D[e^(ax)] = a e^(ax)，所以任何多項式 p(D) 作用於 e^(ax) 都只給出 p(a) e^(ax)——你字面上就是在 a 處求多項式的值。還有指數位移恆等式 p(D)[e^(ax) u] = e^(ax) p(D + a)[u]，它讓你把指數滑開、並位移算子的引數。這幾個招式把許多導數操作變成純代數。

這正是算子因式分解與消去算子法背後的引擎，也是常係數理論為何如此機械而可靠的原因。但要誠實地運用這套代數：類多項式的規則——尤其是隨意調序與因式分解的自由——僅對常係數成立。對變係數，D 與「乘以 x」不可交換，所以「因式分解」對次序敏感，乾淨的多項式類比就破裂了。在它被許可之處使用這套代數，在它不被許可之處切換方法。