算子因式分解（operator factorization）
你知道把一個數因式分解，例如 12 = 3 乘 4，能把一個困難的物件拆成簡單的部分。同樣的訣竅對常係數微分算子也有效。與其一次正面迎擊整個 n 階算子，你把它拆成一連串一階部件的乘積，每個部件都能用簡單的一階線性方法處理。因式分解把一個難步驟換成幾個容易的步驟。
機制如下。算子 L = D^2 - 3D + 2 的分解，恰與它的特徵多項式相同：(D - 1)(D - 2)。要讀懂分解後的形式，從內往外做——(D - 1)(D - 2)[y] = 0 表示先構造 u = (D - 2)[y] = y' - 2y，再要求 (D - 1)[u] = u' - u = 0。內側因子 D - 2 已揭示解 e^(2x)（它解 y' - 2y = 0），外側因子 D - 1 揭示 e^x，兩者合成完整解。每個一階因子 (D - r) 遞給你一個指數 e^(rx)，所以把算子因式分解就是在讀出解——它是穿上算子外衣的特徵根法。
除了求解，因式分解讓你把高階問題一階一階地剝開，也是降階法的觀念根源，以及重複因子 (D - r)^m 為何產生 x e^(rx) 系列的原因。關鍵的誠實之處：這種乾淨的因式分解是常係數的特權。對變係數，因子不可交換，所以 (D - a(x))(D - b(x)) 一般不等於 (D - b(x))(D - a(x))，你不能自由因式分解，也不能把算子當成整齊的多項式。請把算子因式分解保留給常係數的世界。
解 (D^2 - 4)[y] = 0，因式分解為 (D - 2)(D + 2)[y] = 0。因子 D - 2 給出 e^(2x)，因子 D + 2 給出 e^(-2x)，所以通解為 y = c1 e^(2x) + c2 e^(-2x)。
常係數算子的每個一階因子 (D - r)，給出一個解 e^(rx)。
常係數因子可交換，故次序無關；一旦係數依賴 x 這就失效，D 與「乘以 x」不可換——因式分解變得對次序敏感。