圓錐曲線的極座標式（polar equation of a conic）

若你把圓錐曲線的焦點放在座標系統的中心，並以各點到該焦點的距離 r 與角度 theta 來量度，三種圓錐曲線全都塌縮為一條格外簡單的公式。這就是焦點在極點的圓錐曲線極座標式，也是軌道的天然語言，因為行星的天然參考點是太陽，而太陽就位於一個焦點。

公式是 r = l / (1 + e cos theta)，其中 e 是離心率、l 是半正焦弦（橢圓或雙曲線 l = b^2/a，拋物線 l = 2p）。它直接源自焦點-準線性質：r 是焦距，而準線距離正是分母中 1 + e cos theta 的來源。單一的數 e 主導一切——e = 0 使 r 為定值（圓）；0 < e < 1 使分母對所有 theta 為正，故 r 保持有限、曲線閉合（橢圓）；e = 1 使分母在 theta = 180 度處為零，故 r 一次奔向無窮（拋物線）；e > 1 使分母在一段角度範圍內為負，刻出兩條開放的支（雙曲線）。像 r = l / (1 - e cos theta) 或改用 sin theta 的變體，只是旋轉曲線開口的方向。

這一條方程式正是極座標成為天體力學主場的原因：它是克卜勒二體問題的精確解，太陽置於極點。代入 e 與 l 便直接給出行星、彗星或太空船的路徑，而 e 的值立刻告訴你軌道是封閉橢圓（會回來的行星）、拋物線（一次性掠過的脫離），還是雙曲線（一去不返的掠過）。