鞍結分岔（saddle-node bifurcation）

兩個不動點——一穩、一不穩——隨著你轉動某參數彼此靠近、相遇，然後一同消失，讓原本有兩個平衡的地方一個也不剩。這種相互湮滅（若倒過來，則是無中生有的創生）就是鞍結分岔，平衡態出現或消失最基本的方式。

其正規形式為 dx/dt = r + x^2（或用相反符號慣例，r - x^2）。看 dx/dt = r - x^2：當 r > 0 時有兩個不動點 x* = +sqrt(r) 與 x* = -sqrt(r)，一穩一不穩；在 r = 0 時它們合併為原點上一個半穩定點；當 r < 0 時則一個也沒有。合併恰好發生在 f(x*) = 0 與 f'(x*) = 0 同時成立之時，也就是曲線 f(x) 與座標軸相切之時，這正是為何轉變處恰有一個特徵值通過零，是此分岔的標誌。在二維中相撞的兩點確實是一個鞍點與一個結點，此分岔因此得名。

每當一個狀態隨參數被推得太遠而乾脆不復存在時，你就遇到鞍結分岔：神經放電的起始、極限環的驟然消滅，以及更戲劇性的——氣候或生態模型中的臨界點與遲滯，一旦越過此摺疊，穩定態消失且沒有平順的回頭路。「藍天」（blue-sky）之名，捕捉了一對不動點彷彿從晴朗藍天中憑空出現的意象。